Statistik und weltanschaulicher Glaube haben mehr gemeinsam als weithin gedacht. Dass dem so ist, zeigt sich in den Grundlagenproblemen und in den Anwendungen der Mathematik.
Zwei und zwei ist vier. Das lernt man in der Schule. Das Interessante ist allerdings, dass in der Mathematik so vieles Glaubenssache ist. Neben axiomatisch, begründungslos vorgefügte Sätze treten Konventionen, Übereinkünfte, Gewohnheiten. Und die „Kunst des Ratens“ und Vorhersagens.
1) Woher ist zu wissen, dass jemand richtig rechnet? Dass jemand verstanden hat, was Addieren ist? Die Frage stellt sich nicht erst, wenn es um die Berechnung eines stabilen Brückenpfeilers geht.
A. Das Vorgehen in der Mathematik
„Löse das folgende Rechenexempel: Zähle ab tausend immer zwei hinzu [1000 + 2 + 2 …]. – Ein Kinderspiel! – Notiere die Reihe, die du erhältst. Nun, wie wahrscheinlich ist es, dass deine Reihe mit meiner übereinstimmt? An welcher Stelle können wir mit dem Vergleichen abbrechen?“
„Mathe mochte ich nie“, lautet vielleicht die Antwort, „aber fangen wir einfach an.“ Wir kommen bis 1030, bis das Blatt zu Ende ist. Das Gegenüber schaut auf meine Zahlenreihe. Alles gleich. „Okay, ich denke, die Wahrscheinlichkeit ist hoch, dass die Reihe genau gleich aussehen wird.“
Mathematische Schlussketten
Mathematisches Vorgehen ist wesentlich durch Schlussketten bestimmt. Aus eins folgt zwei. Zwei und zwei ist vier. Tausend plus zwei macht 1002. [Usw. usf.] Zählen und Addieren, Ableiten und Abgleichen sind zentrale Vorgänge. Man legt das eine zum Grunde, aus dem das andere folgt. Mathematik gilt wohl nicht von ungefähr als Grundlagenmethode der Naturwissenschaft. Sie wird sogar zum Brötchenholen beim Bäcker irgendwie gebraucht.
2) Es heißt: Zahlen sprechen eine klare Sprache. Das schließt das Rechnen mit Unbekannten jedoch nicht aus. Im Gegenteil. Zur Mathematik gehört neben Arithmetik (Rechnen mit Zahlen) ja ebenso das Rechnen mit Variablen (Rechnen mit Buchstaben) in der Algebra; asymmetrische Figuren in der Geometrie, Mengenlehre, Wahrscheinlichkeitsrechnung in der Stochastik…
„1030, 1032, 1034.“ Man kann sich Mathematiker vorstellen, die beim obigen Rechenexempel noch nicht zufrieden sind und weiter zählen. Wer weiß, ob man der Sache trauen darf… Ein anderer dagegen hätte vielleicht schon bei 1014 aufgehört. Ob es genügen würde nur bis 1002 zu zählen? Oder ist es notwendig bis, sagen wir, zumindest 1070 abzuzählen, bis 4002 oder nicht eigentlich bis man wenigstens über die 7037 hinausgekommen ist?
Nun denn, ich würde sagen, ab 1020 ist die Wahrscheinlichkeit sehr hoch. „Wie hoch?“ – Ich mustere scharf mein Gegenüber…
Mathematik als Regelfolgen
3) Ludwig Wittgenstein (1889 – 1951) hat mit derartigen Gedankenspielen die Regeln der Mathematik herauszuarbeiten versucht. Er kam zu erstaunlichen Ergebnissen. Wie in den Texten, die aus dem Nachlass als Bemerkungen über die Grundlagen der Mathematik (BGM) erschienen sind. Die Überlegungen stehen am Übergang von Wittgensteins Frühphilosophie zu seinem Spätwerk. Sie bereiten seine „Sprachspiel“-Konzeption und die weiteren Entscheidungen der späteren Philosophischen Untersuchungen vor.
„‘[…] willst du sagen, dass der Ausdruck ‘+2‘ es für dich zweifelhaft lässt, was du, nach 2004 z.B., schreiben sollst?‘ – Nein“; „ich weiß doch auch, dass, welche Zahl immer man mir geben wird, ich die folgende gleich mit Sicherheit werde angeben können.“ (BGM I,3) Der „Schüler“ kennt also die Regelhaftigkeit, die mit dem Ausdruck „+2“ verbunden ist. Wann immer ihm dies unterkommt, wird er so verfahren. Er weiß, was zu tun ist.
Dieses Regelwissen ist schlicht aus Ableitung und Nachahmung gewonnen. „Was heißt es nun, dass sich ein Satz aus einem andern, vermittels einer Regel, ableiten lässt?“, fragt Wittgenstein (BGM I,7) und gibt die Antwort: „Wenn wir das Tun eines Menschen, z.B. durch eine Regel beschreiben, so wollen wir, dass der, dem wir die Beschreibung geben, durch Anwendung der Regel wisse, was im besonderen Fall geschieht.“ (BGM III,8) In diesem Sinne legen dann etwa die Grundrechenarten (Addieren, Dividieren, …) bestimmte Anwendungen fest. Mathematik besteht ganz wesentlich aus Regelfolgen.
Mathematische Sätze sind grammatische Sätze (Wittgenstein)
4) Eines der erstaunlichen Ergebnisse Wittgensteins lautet daher, dass mathematische Sätze den Rang von grammatischen Aussagen haben. Wittgenstein stellt sich damit gegen die landläufige Vorstellung, dass mathematische Sätze aus sich selbst heraus feststünden und wahr wären, sich aus sich selbst heraus ohne Vorannahmen als richtig erweisen ließen. Grammatische Sätze werden vielmehr, wie Anja Weiberg (in dem Aufsatzband „Ein Netz von Normen“, Wittgenstein und die Mathematik, herausgegeben von M. Kroß, Berlin 2008) darstellt, in letzter Hinsicht nicht eigentlich als wahr erwiesen, sondern einfach als wahr und treffend angenommen. Sie gelten als die – unhinterfragte – „Basis eines Wissenskörpers“. Dass das für die Mathematik der Fall ist, wird schon am Beispiel des schlichten Rechenunterrichts erkennbar. Weiberg zitiert die einschlägige Wittgenstein-Passage: „Bedenken wir, wir werden in der Mathematik von grammatischen Sätzen überzeugt; der Ausdruck, das Ergebnis, dieser Überzeugtheit ist […], dass wir eine Regel annehmen.“ (BGM II,26)
Das stimmt, erläutert Wittgenstein, indem er auf die paradigmatische Situation hinweist, in der jemand zum Zählen angeleitet wird. In Europa wird dabei heute meist das Dezimalsystem verwendet (mit den Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), statt etwa des alten römischen Zahlensystems (I, V, X, L, C, D, M). Mathematische Notwendigkeiten hierfür gibt es nicht. Eher Gründe der Pragmatik: „Zählen (und das heißt: so zählen) ist eine Technik, die täglich in den mannigfachsten Verrichtungen unseres Lebens verwendet wird. Und darum lernen wir zählen, wie wir es lernen: mit endlosem Üben, mit erbarmungsloser Genauigkeit; darum wird unerbittlich darauf gedrungen, dass wir Alle auf ‘eins‘ ‘zwei‘, auf ‘zwei‘ ‘drei‘ sagen, u.s.f. – ‘Aber ist dieses Zählen also nur ein Gebrauch; entspricht dieser Folge nicht auch eine Wahrheit? ‘ Die Wahrheit ist, dass das Zählen sich bewährt hat.“ (BGM I,4)
Mathematik gleicht der Theologie
5) Im Hintergrund steht bei Wittgenstein auch die Auseinandersetzung mit dem berühmten Unvollständigkeitssatz Kurt Gödels von 1931, der besagt, dass es in einem hinreichend komplexen Satzsystem stets Aussagen gibt, die aus dem System selbst heraus nicht zu beweisen sind.
6) Indem Wittgenstein nun also feststellt, dass mathematische Sätze grammatische Sätze sind, wird zugleich deutlich, dass mathematische Sätze denselben Status wie theologische Sätze aufweisen. Das gilt, weil Mathematik wie Theologie eine Art Regelwerk für ihr Wissensgebiet bereitstellt. Grammatik ist ein Set von Regeln. – Falls Wittgenstein damit recht hat, und da er an anderer Stelle Theologie als Grammatik charakterisiert (vgl. aspekte 1/2015), lässt sich aus dieser Perspektive (Mathematik ist Grammatik; Theologie ist Grammatik) in einem einfachen Schlussverfahren folgern: Mathematik ist Theologie. Durchaus erstaunlich!
Die Gemeinsamkeit von Theologie und Mathematik liegt darin, dass beide wie in einer Schulgrammatik Regeln formulieren.
Theologie ist Mathematik
Dass Mathematik der Theologie gleicht, meint nun freilich nicht die Inhalte, sondern die Funktion der Sätze. Mathematische Sätze stellen Regeln auf. Zum Beispiel, zwei und zwei gibt vier. Auch theologische Sätze stellen Regeln auf. Zum Beispiel, es ist gut und richtig, andern Menschen beizustehen (vgl. Mt 7,12 par). Die Gemeinsamkeit von Theologie und Mathematik liegt darin, dass beide wie in einer Schulgrammatik Regeln formulieren. Und es ergibt sich aus der Feststellung ‘Mathematik ist Theologie‘ sogleich der direkte Umkehrschluss: Theologie ist wie Mathematik. Das ist vielleicht auch bedenkenswert…
Rechne so!
7) Der mathematische Grundsatz lautet: Rechne so! Das unterscheidet ihn in keiner Weise von einem Theologischen. „Rechne so!“, heißt: „Befolge diese Regel“, wenn du dies oder das erreichen willst. Es enthält zugleich die Folge: Rechne mit diesem Ergebnis, wenn du jene Aufgabe auf solche Weise angehen wirst. „In der Mathematik gibt es keine Überraschungen“, sagt Wittgenstein. Und wenn man richtig rechnet, behält er natürlich Recht.
B. Damit ist zu rechnen – Anwendungen
Wie wir bereits bemerkt haben, findet Mathematik nicht nur auf dem Papier, sondern in den mannigfaltigsten Tätigkeiten des Lebens statt. Wittgenstein nennt das Beispiel von Dampfkesseln, deren Konstruktion man in der Regel lieber berechnet, damit nichts explodiert. Heutzutage aber lässt man meistens rechnen, mit Computern, mit ausgeklügelten Algorithmen. Zum Beispiel um zu wissen, wann der Junior als Mitversicherter der KFZ-Police voraussichtlich den ersten Kratzer im Autolack oder einen Totalschaden fabriziert. Um den Tarif rechtzeitig anzupassen. (So rechnen Algorithmen der Versicherungen und Assekuranzen.)
Die Berechenbarkeit der Dinge steigt mit Algorithmen beinah ins Unermessliche, erst recht bei den heutigen Rechnerleistungen. Ein Ausflug in Stochastik und Analysis mag zum Abschluss dafür einige Anwendungen zeigen. Ein Algorithmus ist dabei im Wesentlichen nichts anderes als eine festgelegte Abfolge von Einzelschritten einer Rechnung, mit anderen Worten, eine Regel: Eine – ausdifferenzierte – Regel zum Vorausberechnen beliebig gestellter Aufgaben.
Vorhersehung durch Multiplikation?
1) Endlos lange Zahlenkolonnen: Neben Arithmetik oder Algebra behandelt Mathematik Ableitungen, Funktionen sowie Grenzwerte in der Analysis. (Hier werden nebenbei so ungewöhnliche Tätigkeiten wie „Rechnen mit Null“ oder „Rechnen mit Unendlichkeit“ in großer Ausführlichkeit gelehrt und praktiziert.) Die Analysis hat es insbesondere mit Änderungen im Verlauf, Reihen und dem Errechnen von Grenzwerten zu tun: Wie etwas unter welchen Bedingungen verläuft und bis wohin, das lässt sich durchaus ausrechnen.
2) Ist damit der leistungsstarke Computer durch pures „Hochrechnen“ in der Lage, mehr zu wissen als der Mensch? Kann er in die Zukunft schauen? Durch einfaches Vorausberechnen? Entwickelt sich durch fortgesetztes Addieren, Multiplizieren, Potenzieren … höhere Intelligenz? Und: Wenn Mathematik als Grammatik aufzufassen ist (zeitweise spricht der Logiker Wittgenstein anstelle von Grammatik von „Kalkül“), können Computer dann auch sprachlich denken? Und wie wollte man entscheiden, ob das stimmt?
Statistik und die Kunst des Ratens
3) Im Rechenexempel der Zahlenreihe 1000, 1002, 1004 [1000 +2 +2 …] hatten wir gesehen, dass die Lösung einer mathematischen Aufgabe manchmal von ganz unterschiedlichen Faktoren abhängt. Wenn ich wissen möchte, ob jemand richtig rechnet, ob er die Formel oder das Exempel verstanden hat, die Regel also richtig anwendet, vergleiche ich die Ergebnisse. Wenn zwei sich gut kennen, würde da vielleicht ein Vergleich der Reihe bis 1004 genügen. „Gut, ich sehe, du weißt, was ich meine, wenn ich sage: ‘Addiere zu tausend immer zwei‘“. Womöglich hätte man nicht einmal mit Abgleichen begonnen. (Man denke an zwei studierte Mathematiker.) Doch wie steht es beim Lehrer und dem Schüler; bei Menschen aus verschiedenen Kulturkreisen (wo evtl. nur auf 0 und 1 gezählt wird), die sich erst seit kurzem oder gar nicht kennen; beim Polizisten, der den Autofahrer mit Alkoholfahne anspricht… Antwort: Es ist eine Frage der statistischen Bewertung.
Mit Bohnen darf man Zählen lernen. Mit Quarks hingegen nicht.
4) Die beiden Teilgebiete der Wahrscheinlichkeit und der Statistik behandelt die Mathematik in der Stochastik. Der Begriff Stochastik kommt aus dem Griechischen und meint „die Kunst des Ratens“. Es geht hier also um das Vorhersagen. Wahrscheinlichkeitsrechnung ist beispielsweise für die moderne Quantenwelt wichtig. Denn Elementarteilchen lassen sich gerade nicht so einfach zählen, sondern oft nur nach Wahrscheinlichkeit voraussagen.
Statistik: Eins und eins zusammenzählen
„Lege 2 Äpfel auf die leere Tischplatte, schau dass niemand in ihre Nähe kommt und der Tisch nicht erschüttert wird; nun lege noch 2 Äpfel auf die Tischplatte; […] das Ergebnis der Zählung ist wahrscheinlich 4. […] – So lernen ja die Kinder bei uns rechnen, denn man lässt sie 3 Bohnen hinlegen und noch 3 Bohnen und dann zählen, was da liegt. Käme dabei einmal 5, einmal 7 heraus (etwa darum, weil, wie wir jetzt sagen würden, einmal von selbst eine dazu-, einmal eine wegkäme), so würden wir zunächst Bohnen als für den Rechenunterricht ungeeignet erklären.“ (BGM I,37; zitiert nach Weiberg). Meistens ist der Rechenunterricht – sogar wenn Kinder beteiligt sind – mit Bohnen aber durchaus zielführend. Dasselbe gilt mit kleinen Einschränkungen für Äpfel und mit noch weiteren kleinen Einschränkungen für Bonbons.
5) Mit Bohnen darf man also zählen. Mit Quarks, Elektronen und anderen Elementarteilchen hingegen nicht, sagt uns die moderne Physik – jedenfalls nicht ohne die Kunst des Ratens und Vorhersagens. „Göttliche Vorsehung“ und Mathematik…
Vorsehung und Mathematik
6) Apropos Gottesattribute in der Mathematik: Von den großen Suchmaschinen wird häufiger gesagt, dass sie gottähnliches Wissen anhäufen. Der Aufsichtsratschef des US-Konzerns Alphabet (vormals Google) sagt: Wir wissen ziemlich genau, was unsere Nutzer gerade denken. Und Suchmaschinen werden von einem Großteil der Bevölkerung genutzt. Doch nicht nur in der Internetkommunikation wird fleißig hochgerechnet. Es geht viel einfacher: Auch in den Neurowissenschaften wird den Leuten in den Kopf geschaut. Die Max-Planck-Gesellschaft meldete 2015: „Der Weg zum Schaltplan des Gehirns ist frei.“ Nach der Entschlüsselung des Genoms ist die Entschlüsselung des Konnektoms („Schaltplan des Gehirns“) nicht mehr in weiter Ferne. An der Universität Berkeley wurden 2012 in einem Experiment die menschlichen Gedanken durch Computermessung „hörbar“ und damit rekonstruierbar gemacht. Ein Mix solcher Forschungen (zu Hirnforschung und Big Data vgl. Klaus Müller in: concilium Heft 4, 2015) ermöglicht dann vielleicht auch weitere Verfeinerungen der vorhandenen Instrumente in der Optogenetik (Steuerung von Hirnzellen per Licht, „Methode des Jahres“ 2010) oder der Sonogenetik (Steuerung per Ultraschall).
Mit den entsprechenden Rechenoperationen und der dazugehörigen Technik ist daher davon auszugehen, dass Folgendes schon heutzutage möglich ist:
- mit hoher Wahrscheinlichkeit „raten“, was jemand beliebiges gerade denkt
- daraus folgern, was jemand als nächstes tut
- und manches mehr
Es ist damit zu rechnen, dass diese lustigen Rechenoperationen gelegentlich angewandt werden.
Schluss
7028, 7030, 7032, … Wie wahrscheinlich es wohl ist, dass deine Zahlenreihe (bei „+2“) genau so aussehen wird?
